【精选】数值分析(10)：数值积分之Gauss型求积公式

在前一章《数值分析(9)：数值积分之Newton-Cotes求积公式和复合求积公式》中，提出使用等分区间的方式来给出插值节点，从而得到lagrange插值多项式，最后得到Newton-Cotes求积公式。

从Newton-Cotes求积公式的余项中可以知道，它的代数精度有以下规律：

可以看到: Newton-Cotes求积公式是等距节点，n+1个节点，代数精度至少是n次。

那么同样的节点数，不采用等距分布，代数精度能否提高? 答案是肯定的，我们来看下面这个例子：

根据《数值分析(8)：数值积分之Lagrange法》可知，代数精度与待定系数的数量相关，待定系数数量为 n n n，那么代数精度至少为 n − 1 n-1 n−1。

对于Newton-Cotes求积公式，因为要求区间等分，所以 x 0 x_0 x0​和 x 1 x_1 x1​都已经被确定了，待定的系数只有 A 0 A_0 A0​， A 1 A_1 A1​，因此代数精度至少为1。

而如果不等分区间，那么 x 0 x_0 x0​和 x 1 x_1 x1​也是待定系数，就有4个待定系数，代数精度至少为3.

为了尽可能地提升代数精度，就诞生了Gauss型求积公式，它的区间不一定时等分的。

如前所述，Gauss型求积公式就是尽可能地提升代数精度，如果将区间分为 n n n份，那么就有 2 n + 2 2n+2 2n+2个未知数，代数精度至少为 2 n + 1 2n+1 2n+1

那么此时的代数精度还可能会提高吗？因为理论上说是至少为 2 n + 1 2n+1 2n+1次代数精度，但是是不是可能出现 2 n + 2 2n+2 2n+2次代数精度的情况呢？答案是，最高也就是 2 n + 1 2n+1 2n+1，不可能出现 2 n + 2 2n+2 2n+2次代数精度的情况，证明如下：

形如(4.1)具有最高代数精度(2n+1)次的求积公式 叫Gauss型求积公式，相应的求积节点叫Gauss点。

关于Gauss点判定的充分必要条件为：

证明过程如下：

通过以上定理可以很容易得到下面这个定理，因为Gauss型求积公式的代数精度就是 2 n + 1 2n+1 2n+1次，即：

此定理证明过程如下：

可以看到Gauss型求积公式虽然精度高，但是待定系数太多，不方便求解，常用的求解方法有以下两个：

方法一：待定系数法。如例1

方法二：用定理4.2，先求求积节点，即用正交多项式的零点做Gauss点，再求求积系数，例子如下所示：

Gauss型求积公式的 余项 E n ( f ) E_n(f) En​(f) 如下所示：

证明过程如下：

Gauss型求积公式稳定性定理如下： Gauss型求积公式收敛性定理如下：

可以看到前面的Gauss型求积公式是不限制权函数的，如果权函数为1，且积分区间为 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]，那么得到的即为Gauss-Legendre求积公式：

其求积余项为：

如果Gauss型求积公式的权函数为 1 1 − x 2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} 1−x2 ​1​，且积分区间为 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]，那么得到的即为Gauss-Chebyshev求积公式，定义如下：

参考文献：

关治，陆金甫《数值方法》